Angulos de euler #

Son un conjunto de tres ángulos, alfa, beta y gamma, que permiten describir la orientación de un sólido de una forma más detallada, es decir se aplicaran cambios de referencia alfa, betta, gamma, sobre el resultado de referencia anterior. Por lo que se deben multiplicar las matrices del cambio de orientación.

Existen 3 cambios de orientación de los cuales por regla general, los 3 no pueden ser ejecutados en el mismo eje, sino que por regla general, el primero y el último se suelen aplicar sobre el mismo eje, y el segundo giro se aplica sobre un eje perpendicular al eje de giro.

Debido a que existen múltiples casos, vamos a ver los ángulos de Euler donde se gira respecto al eje z, un ángulo alfa, un ángulo gamma respecto al eje Z, y un ángulo beta respecto al eje x.

Conociendo los valores de la matriz del cambio de orientación, vamos a calcular los valores de cada uno de los ángulos de Euler.

La siguiente matriz, es la matriz de orientación de la secuencia de giro ZXZ, con sus correspondientes ángulos alfa, beta, gamma.

Generalizando la matriz de rotación, se tiene la siguiente forma: \[R = \begin{bmatrix} r_1_1 & r_1_2 & r_1_3 \\ r_2_1 & r_2_2 & r_2_3 \\ r_3_1 & r_3_2 & r_3_3 \\ \end{bmatrix} \]

Dada la matriz de rotación R, podemos calcular el valor de los ángulos de Euler: Empezamos elevando el cuadrado a r_31 y r_32, sacando el factor común de la ecuación, teniendo en cuenta sen^2 y cos^2 es igual a 1. \[ r^{2}_{31} + r^{2}_{32} = sen^{2}_{\beta}sen^{2}_{\gamma } + sen^{2}_{\beta}cos^{2}_{\gamma } = sen^{2}_{\beta}(sen^{2}_{\gamma } + cos^{2}_{\gamma } ) = sen^{2}_{\beta} \]

Ahora despejamos el cuadrado, obteniendo dos posibles soluciones: \[ sen_{\beta } = \sqrt{r_{31}^{2} + r_{32}^{2}} \] \[ sen_{\beta } = -\sqrt{r_{31}^{2} + r_{32}^{2}}\]

Teniendo en cuenta la primera solución, y conociendo que r_33 es coseno de Beta, se tiene que: \[ tan_{\beta } = \left ( \frac{\sqrt{r_{31}^{2} + r_{32}^{2}}}{r_{33}} \right ) \]

Y despejando Beta, y conociendo que Beta está entre 0 y pi, tenemos que: \[ \beta = tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt{r_{31}^{2} + r_{32}^{2}}}{r_{33}} \right ) \]

Ahora calculamos el valor del ángulo gamma dividiendo r_31 y r_32: \[ \frac{r_{31}}{r_{32}} = \frac{sen_\beta sen_\gamma }{sen_\beta cos_\gamma } = \frac{sen_\gamma }{cos_\gamma } = tan_\gamma \]

Despejamos Gamma, y tenemos el siguiente resultado: \[ \gamma = tan^{-1}\left ( \frac{r_{31}}{r_{32}} \right ) \]

Ahora vamos a calcular el valor del ángulo alfa, teniendo en cuenta r_13 y r_23: \[ \frac{r_{13}}{r_{23}} = \frac{sen_\alpha sen_\beta }{-cos_\alpha sen_\beta } = \frac{sen_\alpha }{-cos_\alpha } = tan_\alpha \]

Despejamos alfa, y tenemos el siguiente resultado: \[ \alpha = tan^{-1}\left ( \frac{r_{13}}{-r_{23}} \right ) \]

De esta manera, tenemos el resultado de los tres ángulos, para ángulos entre 0 y pi.

Ahora bien, al tener en cuenta la parte negativa del despeje del cuadrado, es decir el valor de beta está entre pi y 2pi, y conociendo que coseno de Beta es r_33, tenemos que el ángulo Beta es: \[ \beta = tan^{-1}\left ( \frac{-\sqrt{r_{31}^{2} + r_{32}^{2}}}{r_{33}} \right ) \]

Ahora calculamos el ángulo gamma: \[ \frac{-r_{31}}{-r_{32}} = \frac{sen_\beta sen_\gamma }{sen_\beta cos_\gamma } = \frac{sen_\gamma }{cos_\gamma } = tan_\gamma \] \[ \gamma = tan^{-1}\left ( \frac{-r_{31}}{-r_{32}} \right ) \]

Y por el último calculamos el ángulo alfa: \[ \frac{-r_{13}}{r_{23}} = \frac{-sen_\alpha sen_\beta }{cos_\alpha sen_\beta } = \frac{-sen_\alpha }{cos_\alpha } = tan_\alpha \] \[ \alpha = tan^{-1}\left ( \frac{-r_{13}}{r_{23}} \right ) \] Y de esta manera, tenemos los valores para los ángulos entre pi y 2 pi.